Sunday, October 11, 2009

Sobre logros

Supongamos que le llamamos logro a aquellos hechos considerados como la culminación exitosa de nuestro esfuerzo durante cierto intervalo de tiempo. A lo largo de la vida una persona puede acumular muchos logros y ser así considerada una persona exitosa. Es obvio que algunas personas logran más cosas que otras en el transcurso de la vida. Esto depende de muchos factores, no sólo de que tan capaz o inteligente sea la persona sino también del entorno en el que le toca vivir. Sea como sea, podemos cuantificar la cantidad de logro por unidad de tiempo $v$ como

\[ v = \frac{\mbox{cantidad de logro}}{\mbox{tiempo de vida}}. \]

Pero esta cantidad varía a lo largo de la vida, es mejor hablar de la razón de cambio instantánea de logro, definida como

\[ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta L}{\Delta t}, \]

donde $L$ es la cantidad de logro y $t$ es el tiempo. De acuerdo con esto, la cantidad de logro de una persona en determinado tiempo $t$ de su vida está dada por

\[ L = \int_0^t v(t^\prime) \; dt^\prime . \]

De aquí se desprende que en promedio una persona exitosa tendrá un $v_e(t)$ mayor que una persona no exitosa $v_n(t)$. Si la cantidad de logro que alguien acumula durante un tiempo $t_e$ es $L_e$, ¿cuánto tiempo necesita la persona menos existosa para alcanzar el mismo nivel $L_e$?. Para averiguarlo tenemos que resolver la siguiente ecuación para $t_n$,

\[ \int_0^{t_n} v_n(t^\prime) \; dt^\prime = L_e , \]
\[ \int_0^{t_n} v_n(t^\prime) \; dt^\prime = \int_0^{t_e} v_e(t^\prime) \; dt^\prime . \]

Asumiendo por simplicidad que $v(t)$ es constante y que $v_e > v_n$ tenemos que,

\[ v_n \int_0^{t_n} \; dt^\prime = v_e \int_0^{t_e} \; dt^\prime , \]
\[ v_n t_n = v_e t_e . \]

Es decir que si $v_e/v_n = 2$, entonces $t_n = 2 t_e$. En conclusión, todos podemos ser tan exitosos como el que más, siempre y cuando vivamos lo suficiente para llegar allí.

Gracias a watchmath por este fabuloso script para utilizar $\LaTeX$ en Blogger.
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